4.1 다변수함수 다변수함수 x와 y의 값에 따라 z의 값이 결정될 때 z는 x와 y의 함수라고 하며 z = f(x, y)로 나타낸다.개집합 2차원 공간을 R2={(x,y)|x,yRR}로 표기한다. R2의 부분집합 D가 개집합인 것은 D의 임의의 점 P(a,b)에 대해, P를 중심으로 하는 반경 ο의 원 Dο가 D에 포함되도록 하는, 즉 Dο = {(x,y) | (x-a)2 + (y-b)2<ο2} ⊂D가 성립하는 ο가 존재할 때이다.
직관적인 설명 U는 개집합이기 때문에 내부의 모든 점에서 원을 그릴 수 있지만 E는 폐집합이기 때문에 원을 그릴 수 없다는 점(경계면 상의 점)이 존재한다.
영역 R2 의 부분집합 D 에 포함되는 임의의 두 점이, D 내에서 꺾임선으로 이어질 때, D 는 영역이라고 한다, 특히, 영역이 개집합인 경우, 개영역이라고 한다. 예를 들어 전체 평면, 원 내부, 평면의 x축 위 공간 {(x, y)|y>0} 등은 열린 영역이다. 변수의 경우와 같이 응용상의 주의점은 연속적인 함수나 미분 가능한 함수이다, 이것들을 정의하기 위해서는 함수의 극한 개념이 필요하다.다변수 함수의 극한 xy 평면 상의 점(x,y)을 점(a,b)에 어떤 방식으로 접근하든 함수 f(x,y)의 값이 l에 접근할 때, l을 함수 f(x,y)의 점(a,b)에 대한 극한값이라 하며, 1변수 함수의 경우와 마찬가지로 다음과 같이 표기한다.
1변수함수의 경우 변수 x는 직선상을 움직이므로 x가 점 a에 접근하기 위해서는 오른쪽부터인가 왼쪽부터인가 두 가지 방법밖에 없었다. 그러나 두 변수라면 점(x,y)이 점(a,b)에 접근하는 방법은 무수히 많다. 이것이 사정을 복잡하게 만든다.
예 4.1.1 다음 함수의 극한을 구하시오
해가 1y=0을 고정시킨 채 극한을 찾으면, lim x^2/x^2=1.x=0을 고정시킨 채 극한을 찾으면, lim-y^2/y^2=-1.에 따라 두 직선에 대한 극한이 다르기 때문에 극한은 존재하지 않는다.해가 2x=rcos,, y=rsinᅩᄅ로 치환하여 생각해 보면, (x,y)→ (0,0)일 때 r→0이므로, 함수는
➆ 의 값에 따라 달라지므로 역시 극한은 존재하지 않는다.
예 4.1.2 다음 함수의 극한을 구하시오
해x=0, y=0으로 고정시킨 채 위의 예와 같이 구했을 때, 양쪽 다 극한값은 1이 된다. 따라서 극한값이 존재한다면 그 값은 1이어야 한다. x=rcos, y=rsin ᅩᄅ로 치환하면, (x, y)→(0,0)일 때 r→0이므로,
난해하다. 이것이 무슨 뜻이냐면, |함수-극한치(1)|를 정리했을 때, 이 값은 3r보다 작게(다소의 기교가 필요), r은 0으로 이동하므로 이보다 작다|함수-극한치|다시 0으로 수렴한다는 것이다. 따라서 함수에 극한은 존재하며, 이때의 값은 1이다.극한이 존재하지 않는다는 것은 근접 방법에 따라 함수의 값이 발산하거나 극한값이 다른 것이라고 보면 된다. 극한을 구하기 위해서는 적절한 근접법에 의해 후보값 l을 구한 후 f(x,y)와 l의 차이가 0으로 수렴하는 것을 나타내면 된다. 이때 상기 예와 같이 극좌표로 변환하는 것은 유효하다.함수의 연속성 점(a,b) 근처에 정의된 함수 f(x,y)가 점(a,b)에 대해 연속이라는 것은 1변수일 때와 마찬가지로 점(a,b)에 대한 함수 f(x,y)의 극한이 점(a,b)에 대한 함수의 값 f(a,b)와 일치한다는 것이다. 즉,또, 1변수일 때와 마찬가지로 연속함수의 합, 차, 곱, 나눗셈에 대해서도 다음과 같은 정리가 성립된다.정리 4.1.1 (연속함수의 합, 차, 곱, 나눗셈의 연속성) f(x, y), g(x, y)가 점(a, b)이고 연속이라면, cf, f±g, fg, f/g(단, g(a, b)±0)은 점(a, b)에서 연속이다.함수의 열림 영역에 대한 연속성 평면의 열림 영역 D에 정의된 함수 f(x,y)가 D에서 연속이라면 f(x,y)가 D의 모든 점에 대해 연속임을 의미한다.예 4.1.3 다음 함수가 전체 평면에서 연속적인지 조사하시오.해가 일반적으로 x, y의 다항식은 x, y의 곱과 합으로 이루어지므로 연속이다, 따라서 (x, y) ((0,0)일 때 f(x, y)의 분모, 분자는 연속이다. 또한 분모가 0이 되지 않으므로 다항식은 정의되고 연속이다. (x,y)=(0,0)에 대한 연속성을 알아보자. x=rcos, y=rsin ᅩᄅ로 하자.(x,y) → (0,0)일 때 r → 0이므로따라서 f(x,y)는 원점에서도 연속이다.함수의 각 점에서의 연속성을 나타내기 위해서는 1변수의 경우와 마찬가지로 그 점에 대한 극한값이 함수의 값과 같은지를 조사하면 된다. 같으면 연속이고 극한이 없거나 함수의 값과 다른 경우는 연속이 아니다.편미분 가능성 점(a,b) 근처에서 정의된 함수 f(x,y)가 점(a,b)에 대해 x에 관해 편미분 가능하다는 것은 y=b에 대해 얻을 수 있는 x의 함수 f(x,b)가 x=a에서 미분 가능하다는 것을 의미한다. f(x,b)의 x에 관한 미분 계수를 점(a,b)에 대한 f(x,y)의 x에 관한 편미분 계수라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.즉, 함수 f(x, y)가 점(a, b)에서 x에 관해 편미분 가능하다는 것은 곡면 z=f(x, y)를 평면 y=b로 자른 단면 z=f(x, b)가 x=a에서 미분 가능하다는 뜻이다. y에 관한 편미분계수도 마찬가지로 정의된다. f가 개영역 D의 각 점에서 x에 관해 편미분 가능할 때, fx(a,b)를 (a,b)의 함수로서 취급한 것을 z=f(a,b)의 x에 관한 편도함수라 하며, 다음과 같이 나타낸다.y에 관한 편도 함수도 같은식이다.정리 4.1.2전 평면에서 편미분 가능한 함수 f(x, y)이 fx(x, y)≒ 0(항등적으로 0)이라면 f(x, y)는 y만의 함수이다. 또한 fy(x, y)≒ 0 그렇다면 f(x, y)는 x의 함수이다. 특히 fx(x, y)=fy(x, y)≡ 0이라면 f(x, y)은 정수이다.증명 fx(x, y)￥0으로 가정한다. y를 고정했을 때, f(x, y)는 x의 함수로서 미분한 것이 0이므로 x에 관계 없이 결정된다. 그러므로 f(x, y)는 y만의 함수이다. x에 관해서도 마찬가지. 또 fx(x, y)=fy(x, y)≡ 0이라면 f(x, y)는 x및 y에 관계 없이 정해져서 정수이다.위의 정리는 전 평면이 아니더라도 f(x, y)가 정의되고 있는 영역의 x축 혹은 y축으로 평행한 단면이 구간인면 성립한다.